Distribucion binomial

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial se caracteriza por su función de probabilidad viene dada por la  expresión siguiente:

b(x; n, p)=

Dónde:

X= Numero de éxitos(x=0, 1,2…n).

P= Probabilidad de éxito.

1-p= Probabilidad de fracaso.

N=Tamaño de la muestra o número de ensayos.

 

CONDICIONES PARA UNA DISTRIBUCION BINOMIAL

 

Una distribución se denomina binomial, cuando se cumplen las condiciones siguientes:

·                    El experimento aleatorio de base se repite n veces y todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes.

 

·                    En cada prueba se obtiene una misma probabilidad de éxito, expresado con p. así mismo, existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso que es igual a 1-p.

 

·                    El objetivo de la distribución binomial es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto número de éxitos.

 

·                    La variable aleatoria x que indica el número de veces que aparece un suceso denominado A (éxitos, es discreta, y su recorrido es el con junto {1, 2, 3…n}).

 

 

 

Los ejercicios los resolveremos con la tabla de estadística y posteriormente con la hoja de cálculo Microsoft office

 

TABLA 1, PROBABILIDAD DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL(n; p)

 

 

Puede apreciarse en la  primera columna, aparece n, en la segunda columna los valores de x por cada n y luego las columnas correspondientes a las probabilidades de p.

 

EJEMPLO

Por ejemplo; si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de n=3, en sayos en los cuales x= 2, son éxitos con una probabilidad de aciertos de p=0.40.

SOLUCION:

(0.2880)

EN EXCEL LA FORMULA ES:

=DISTR, BINOM, N (num_exito, ensayos, prob-éxito, aculada)

Se ubica en una celda vacía y se escribe =DISTR, BINOM, N; el software demostrara las distribuciones existentes mientras usted está escribiendo puedes ver que entre ( ) aparecen cuatro paramentos:

 

1.           NUMERO DE EXITOS (num_exitos)

Aquí puede escribir el número de éxitos que desea obtener.

 

2.           ENSAYOS

Es el tamaño de la muestra n.

 

 

3.           PROBABILIDAD DE ÉXITO (prob_ éxito).

Probabilidad de p de éxito

 

4.           ACUMULADO

Verdadero o falso. (Si escribe VERDADERO: la distribución calcula la distribución binomial acumulada desde x-0; Si escribe FALSO: la distribución binomial solo calcula el valor puntual, exacto de x)

 

EJEMPLO

 

Por ejemplo; si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de n=3, ensayos de los cuales x=2, son éxitos con una probabilidad de aciertos de p=0.40

 

Puede ver que es el mismo resultado que obtuvimos con las tablas, no obstante en algunos casos habrá pequeñas diferencias dado que la tabla contiene  solo valores de probabilidad de cuatro decimales (es decir 10 milésimas) y en Excel puede pedirle que demuestre los decimales que quiera.

 

 

EJERCICIOS

 

EJERCICIO 1

Sea x un número de preguntas contestadas correctamente en el test (examen) de un total de 10 preguntas, calcular las probabilidades de contestar:

a)           5 preguntas correctamente

b)          1 o más preguntas correctamente

c)           5 o más preguntas correctamente

d)          Entre 3 y 6 preguntas correctamente

SOLUCIÓN:

n= 10

p= nPb (éxito) = P (pregunta contestada correctamente)= 0.5… “P” permanece constante

Asumiendo independientemente las contestaciones de las preguntas, obtenemos que X∞b (10,0.5) Entonces:

a)          P(x-5)=b(A=5*n=10 P=0.5)

b)          P=(x̂ ̂̂̂≤ 1)=1-P(X 25)=1-P(X≤1)=1-P(x=0)=1-b=0 n=10 P=0.5)

c)           P=(x=25)=1-P(x25)=1-P(x≤4)=1-b(x≤4) n=10  P=0.5)

d)          P=(3≤X≤6)= b(x≤6;n=10, p= 0.5)- b(x≤2, n=10, p=0.5)

SOLUCIÓN USANDO EXCEL

a)          DISTRI.BINOM.N (5,10,0.50,FALSO)= 0.2461

b)          1- DISTRI.BINOM.N (0, 10,50, FALSO)= 0.010 = 0.9990.

c)           1- DISTRI.BINOM.N (4,10,0.50, VERDADERO)= 1-0 37770= 0.6230

d)          DISTRI.BINOM(6,10,0.5, VERDADERO)- DISTRI.BINOM.N(2,10,0.5,VERDADERO)=0.8281-0.547=0.7734

 

EJERCICIO 2

Un ingeniero en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. Si el 20% de los alternadores del lote están defectuosos cual es la probabilidad de que la muestra:

a)          Ninguno este defectuoso

b)          Uno salga defectuoso

c)           Al menos dos salgan defectuosos

d)          Más de tres con defectos

e)           No más de 3 estén con defecto

  SOLUCION UTILIZANDO TABLAS BINOMIALES:

a)          P(x=0)=b(x=0; n=10; p=0.2)=0.1074

b)          P(x=1)=b(x=1; n=10 : p=0.2)=0.2684

c)           P(x≥3)=1-p(x≤2)=1-b(x≤2; n=10; p=0.2)=0.642

d)          P(x≥3)=1-p(x≤2)=1-p(x≤2; n=10: p=0.2)=0.642

e)           P(x≤)=b(x≤3; n=10; p=0.2)=0.8791

 

SOLUCION USANDO EXCEL

a)          DISTRI.BINOM.N (0,10,0.2,FALSO)=0.1734~17%

b)          DISTRI.BINOM.N (1,10,0.2,FALSO)=0.2684~26%

c)           1- DISTRI.BINOM.N (1,10,0.20,VERDADERO)=0.642~62%

d)          1- DISTRI.BINOM.N (2,10,0.2,VERDADERO)=0.322~32%

e)           DISTRI.BINOM.N (3,10,0.2,VERDADERO)=0.8791~87%

 

 

 

 

EJERCICIO 3

La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin fallar es de 0.90 calcular la probabilidad de que una muestra de 15:

a)          12 duren al menos un año

b)          A lo más 5 duren al menos un año

c)           Al menos 2 duren al menos un año

SOLUCION UTILIZANDO TABLAS BINOMIALES

a)          b (3; n=15: 0.10)- B (2; n=15; p=0.10)=b(x=3; n=15; 0.10)=0.1205

b)          1-b(9; n=15; 0.10)=1-[0.2059+0.3432+0.1285+0.1285+0.0428+0.0105+0.00019+0.0003+0.0+0.0)=1-1=0

c)           b(15-2-1)(15,0.10)=1

SOLUCION UTILIZANDO EXCEL

a)          b(x=12; n=15; p=0.9)= DISTRI.BINOM.N (12;15;0.90;FALSO)=0.1285

b)          b(x ≤5; n=15; p=0.90)= DISTRI.BINOM.N (12;15;0.90;VERDADERO)=0.00000002

c)           1-b(X≤1; n=15; p=0.90)=1- DISTRI.BINOM.N (1;15;0.90;VERDADERO)=0.0001

 

 

EJERCICIO 4

Si 15 de 50 proyectos de vivienda violan el código de construcción, ¿Cuál es la probabilidad de aunque un inspector de vivienda que selecciona aleatoriamente a cuatro de ellos, descubran que:

 

a)          Ninguna de las casas viola el código de construcción.

b)           Una viola el código de construcción.

c)           Dos violan el código de construcción.

d)           Al menos tres violan el código de construcción.

 

SOLUCION USANDO TABLAS BINOMIALES

 

a)           P(x=0)=b(x=0;n=4,p=0.3)=0.2401

b)           P(x=1)=b(x=1;n=4,p=0.3)=0.4116

c)           P(x=2)=b(x=2;n=4,p=0.3)=0.2646

d)           P(x≥3)=b(x=3;n=4,p=0.3)=0.0837

 

 

SOLUCION USANDO EXCEL

 

 

a)           DISTR.BINOM.N(0,4,0.3,FALSO)=0.2401

b)           DISTR.BINOM.N(1,4,0.3,FALSO)=0.4116

c)           DISTR.BINOM.N(2,4,0.3,FALSO)=0.2646

DISTR.BINOM.N(3,4,0.3,VERDADERO)=0.0837